مصر: إيهاب محمد زايد
أجاب علماء الرياضيات وعلماء الكمبيوتر على الأسئلة الرئيسية في الطوبولوجيا ونظرية المجموعات وحتى الفيزياء ، حتى مع استمرار نمو أجهزة الكمبيوتر.
قضى علماء الرياضيات وعلماء الكمبيوتر عامًا مثيرًا من الاختراقات في نظرية المجموعات والطوبولوجيا والذكاء الاصطناعي ، بالإضافة إلى الحفاظ على المعرفة الباهتة وإعادة النظر في الأسئلة القديمة. لقد حققوا تقدمًا جديدًا في الأسئلة الأساسية في هذا المجال ، واحتفلوا بالروابط التي امتدت عبر مجالات الرياضيات البعيدة ، ورأوا الروابط بين الرياضيات والتخصصات الأخرى تنمو. لكن العديد من النتائج كانت مجرد إجابات جزئية ، وتبين أن بعض السبل الواعدة للاستكشاف كانت طريقًا مسدودًا ، تاركة العمل للأجيال القادمة (والحالية).
شهد الطوبولوجيون ، الذين قضوا بالفعل عامًا حافلًا ، إصدار كتاب هذا الخريف والذي يعرض أخيرًا بشكل شامل عملاً كبيرًا عمره 40 عامًا كان في خطر الضياع. اكتسبت أداة هندسية تم إنشاؤها قبل 11 عامًا حياة جديدة في سياق رياضي مختلف ، مما أدى إلى سد مجالات بحث متباينة. وعمل جديد في نظرية المجموعات جعل علماء الرياضيات أقرب إلى فهم طبيعة اللانهاية وكم عدد الأعداد الحقيقية الموجودة بالفعل. كان هذا مجرد سؤال واحد من العديد من الأسئلة في الرياضيات منذ عقود والتي تلقت إجابات – من نوع ما – هذا العام.
لكن الرياضيات لا توجد في الفراغ. غطى كوانتا هذا الصيف الحاجة المتزايدة لفهم رياضي لنظرية المجال الكمومي ، أحد أكثر المفاهيم نجاحًا في الفيزياء. وبالمثل ، أصبحت أجهزة الكمبيوتر بشكل متزايد أدوات لا غنى عنها لعلماء الرياضيات ، الذين يستخدمونها ليس فقط لإجراء العمليات الحسابية ولكن لحل المشكلات المستحيلة بخلاف ذلك وحتى التحقق من البراهين المعقدة. وبما أن الآلات أصبحت أفضل في حل المشكلات ، فقد شهد هذا العام أيضًا تقدمًا جديدًا في فهم كيفية إتقانها لذلك.
الحفاظ على الطوبولوجيا
من المغري الاعتقاد بأن الدليل الرياضي ، بمجرد اكتشافه ، سيبقى إلى الأبد. لكن الطوبولوجيا المنبثقة الناتجة من عام 1981 كانت في خطر الضياع في الغموض ، حيث أن القليل من علماء الرياضيات المتبقين الذين فهموا ذلك تقدموا في السن وتركوا المجال. أظهر دليل مايكل فريدمان على حدسية بوانكاريه رباعية الأبعاد أن بعض الأشكال المتشابهة في بعض النواحي (أو “المكافئ المتماثل”) للكرة رباعية الأبعاد يجب أيضًا أن تكون مشابهة لها بطرق أخرى ، مما يجعلها “متجانسة الشكل”. (يمتلك علماء الطوب طريقتهم الخاصة في تحديد ما إذا كان شكلين متماثلين أو متشابهين.) لحسن الحظ ، هناك كتاب جديد يسمى The Disc Embedding Theorem يؤسس في ما يقرب من 500 صفحة المنطق الذي لا مفر منه لنهج فريدمان المفاجئ ويؤسس بقوة الاكتشاف في القانون الرياضي.
نتيجة رئيسية أخرى حديثة في الطوبولوجيا تضمنت تخمين Smale ، الذي يسأل عما إذا كانت التماثلات الأساسية للكرة رباعية الأبعاد هي ، بشكل أساسي ، جميع التماثلات التي يمتلكها. أثبت تادايوكي واتانابي أن الإجابة هي لا – توجد أنواع أخرى من التماثلات – وبذلك بدأ البحث عنها ، مع ظهور نتائج جديدة مؤخرًا في سبتمبر. كما قام اثنان من علماء الرياضيات بتطوير “نظرية فلور مورافا K” ، وهي إطار يجمع بين الهندسة العطفية والطوبولوجيا. يؤسس العمل مجموعة جديدة من الأدوات للتعامل مع المشكلات في تلك المجالات ، ويثبت بشكل عابر تقريبًا وجود نسخة جديدة من مشكلة عمرها عقود تسمى تخمين أرنولد. استكشف كوانتا أيضًا أصول الطوبولوجيا نفسها بعمود في يناير وشرح مكرس لموضوع التنادد ذي الصلة.
سواء كانوا يساعدون علماء الرياضيات في الرياضيات أو يساعدون في تحليل البيانات العلمية ، فإن الشبكات العصبية العميقة ، وهي شكل من أشكال الذكاء الاصطناعي المبنية على طبقات من الخلايا العصبية الاصطناعية ، أصبحت أكثر تعقيدًا وقوة. كما أنها تظل غامضة: تقول نظرية التعلم الآلي التقليدية أن الأعداد الهائلة من المعلمات يجب أن تؤدي إلى فرط التجهيز وعدم القدرة على التعميم ، ولكن من الواضح أن شيئًا آخر يجب أن يحدث. اتضح أن نماذج التعلم الآلي الأقدم والأكثر فهماً ، والتي تسمى آلات النواة ، مكافئة رياضياً للإصدارات المثالية من هذه الشبكات العصبية ، مما يقترح طرقًا جديدة لفهم – والاستفادة من – الصناديق السوداء الرقمية.
لكن كانت هناك انتكاسات أيضًا. تواجه الأنواع ذات الصلة من الذكاء الاصطناعي والمعروفة باسم الشبكات العصبية التلافيفية صعوبة بالغة في التمييز بين الأشياء المتشابهة والمختلفة ، وهناك فرصة جيدة لذلك دائمًا. وبالمثل ، أظهر العمل الأخير
هذا الانحدار التدرج – خوارزمية مفيدة لتدريب الشبكات العصبية وأداء المهام الحسابية الأخرى – هو مشكلة صعبة في الأساس ، مما يعني أن بعض المهام قد تكون بعيدة المنال إلى الأبد. عانت الحوسبة الكمومية ، على الرغم من وعدها ، من نكسة كبيرة في مارس عندما تم سحب ورقة بحثية رئيسية تصف كيفية إنشاء كيوبتات طوبولوجية مقاومة للخطأ ، مما أجبر العلماء الذين كانوا يأملون في السابق على إدراك أن مثل هذه الآلة قد تكون مستحيلة. (أبرز سكوت آرونسون ، في عمود وفيديو ، سبب صعوبة التعامل مع أجهزة الكمبيوتر الكمومية ، وحتى التحدث عنها).
طبيعة اللانهاية
كم عدد الأعداد الحقيقية الموجودة؟ لقد كان سؤالًا استفزازيًا – ولم يتم حله – لأكثر من قرن ، ولكن هذا العام شهد تطورات كبيرة نحو إجابة. نشر David Asperó و Ralf Schindler دليلًا في شهر مايو يجمع بين بديهيتين معاديتين سابقًا: هناك اختلاف في أحدهما ، يُعرف باسم Martin’s max ، ويشير إلى الآخر ، المسمى (*) (يُنطق “بالنجم”). النتيجة تعني أن كلا البديهيتين من المرجح أن تكونا صحيحين ، وهذا بدوره يشير إلى أن عدد الأعداد الحقيقية أكبر مما كان يعتقد في البداية ، يتوافق مع العدد الأساسي ℵ2 بدلاً من العدد الأصغر (الذي لا يزال غير محدود) 1. هذا من شأنه أن ينتهك فرضية الاستمرارية ، التي تنص على عدم وجود حجم لانهاية بين 0 ، المقابلة لمجموعة من جميع الأعداد الطبيعية ، وسلسلة الأعداد الحقيقية. لكن لا يتفق الجميع ، بما في ذلك Hugh Woodin ، المبتكر الأصلي لـ (*) ، الذي نشر عملاً جديدًا يشير إلى أن فرضية الاستمرارية صحيحة بعد كل شيء.
لم تكن هذه هي المشكلة الوحيدة التي مضى عليها عقود من الزمن والتي أعادت الحلول الحديثة النظر فيها. في عام 1900 ، توصل ديفيد هيلبرت إلى 23 سؤالًا مهمًا لم يتم حلها ، وشهد هذا العام نشر علماء الرياضيات إجابات غير كاملة للمسألة الثانية عشرة ، حول اللبنات الأساسية لأنظمة أرقام معينة ، والثالث عشر ، حول حلول كثيرات الحدود من الدرجة السابعة. شهد شهر فبراير أيضًا الإعلان عن أن تخمين الوحدة خاطئ ، مما يعني أن الانعكاسات المضاعفة موجودة بالفعل في هياكل أكثر تعقيدًا مما يعتقد علماء الرياضيات. وفي كانون الثاني (يناير) ، اكتشف أليكس كونتوروفيتش ربما أكبر مشكلة لم تحل في الرياضيات ، وهي فرضية ريمان ، في مقال وفيديو.
توسيع الجسور الرياضية
في كثير من الأحيان ، لا يجيب التقدم الرياضي الكبير على سؤال رئيسي فحسب ، بل يوفر أيضًا وسيلة جديدة للاستكشاف لمحاولة مواجهة المشكلات الأخرى. ابتكر كل من Laurent Fargues و Jean-Marc Fontaine كائنًا هندسيًا جديدًا حوالي عام 2010 ساعد في بحثهما. ولكن عند دمجه مع أفكار Peter Scholze المحيطة بالمساحات المثالية ، اتخذ منحنى Fargues-Fontaine أهمية موسعة ، مما زاد من ربط نظرية الأعداد والهندسة كجزء من برنامج Langlands الذي مضى عليه عقود. قال شولتز: “إنه نوع من الثقوب الدودية بين عالمين مختلفين”.
تضمنت تأملات أخرى حول برنامج لانجلاند مقابلة مع آنا كاراياني ، التي ساعد عملها على تقوية وتحسين الروابط المماثلة بين مجالات الرياضيات المتباينة ، وفحص مجموعات جالوا من التماثلات في قلب تخمينات لانجلاند الأصلية.
الرياضيات وأجهزة الكمبيوتر تتعاونان
تشتهر أنظمة العالم الحقيقي بأنها معقدة ، وتساعد المعادلات التفاضلية الجزئية (PDEs) الباحثين على وصفها وفهمها. لكن من المعروف أيضًا أن أجهزة PDE يصعب حلها. ظهر نوعان جديدان من الشبكات العصبية – DeepONet والمشغل العصبي Fourier – لتسهيل هذا العمل. كلاهما لديه القدرة على تقريب المشغلين ، والتي يمكن أن تحول الوظائف إلى وظائف أخرى ، مما يسمح بشكل فعال للشبكات برسم مساحة غير محدودة الأبعاد على مساحة أخرى غير محدودة الأبعاد. تعمل الأنظمة الجديدة على حل المعادلات الحالية بشكل أسرع من الطرق التقليدية ، وقد تساعد أيضًا في توفير أجهزة PDE للأنظمة التي كانت في السابق معقدة للغاية بحيث لا يمكن تصميمها.
في الواقع ، أثبتت أجهزة الكمبيوتر أنها مفيدة لعلماء الرياضيات بطرق مختلفة هذا العام. في كانون الثاني (يناير) ، أبلغت كوانتا عن خوارزميات جديدة لأجهزة الكمبيوتر الكمومية من شأنها أن تسمح لها بمعالجة الأنظمة غير الخطية ، حيث يمكن للتفاعلات أن تؤثر على نفسها ، عن طريق تقريبها أولاً على أنها أبسط وخطية. واصلت أجهزة الكمبيوتر أيضًا دفع البحث الرياضي إلى الأمام عندما استخدم فريق من علماء الرياضيات أجهزة وخوارزميات حديثة لإثبات عدم وجود أنواع خاصة من رباعي الأسطح أكثر من تلك التي تم اكتشافها منذ 26 عامًا ، وبشكل أكثر دراماتيكية – عندما تحقق مساعد إثبات رقمي يُدعى Lean صحة برهان حديث غامض.
أرضية رياضية مهتزة. إن استخدام الصرامة الرياضية في نظرية المجال الكمومي من شأنه أن يساعد الفيزيائيين على العمل في هذا الإطار وتوسيعه ، لكنه سيعطي علماء الرياضيات أيضًا مجموعة جديدة من الأدوات والهياكل ليلعبوا بها. في سلسلة من أربعة أجزاء ، فحص كوانتا القضايا الرئيسية التي تدخل حاليًا في طريق علماء الرياضيات ، واستكشف قصة نجاح أصغر حجمًا في بعدين ، وناقش الاحتمالات مع أخصائي QFT ناثان سيبرغ ، وشرح في مقطع فيديو أبرز QFT على الإطلاق : النموذج القياسي.
